Ja, Inhabern einer Blauen EU ist es gestattet, innerhalb der EU zu touristischen Zwecken visumsfrei in andere Schengen Staaten zu reisen. Sie können für 90 Tage innerhalb von 180 Tagen nach Belgien, Dänemark, Estland, Finnland, Frankreich, Griechenland, Island, Italien, Kroatien, Lettland, Liechtenstein, Litauen, Luxemburg, Malta, Niederlande, Norwegen, Österreich, Polen, Portugal, Schweden, Schweiz, Slowakei, Slowenien, Spanien, Tschechische Republik und Ungarn reisen. Eine Arbeitsaufnahme außerhalb Deutschlands ist in der Regel nicht ohne entsprechenden Aufenthaltstitel möglich.
Nachdem Sie sich für ein Jahr mit Ihrer Blauen Karte EU in Deutschland aufgehalten haben, können Sie jederzeit in einen anderen EU-Mitgliedsstaat ausreisen, um dort eine Blaue Karte zu erhalten und damit zu arbeiten. Nach Ihrer Einreise in diesen anderen EU-Staat müssen Sie bei den dortigen Ausländerbehörden schnellstmöglich, spätestens innerhalb eines Monats, einen Antrag auf Erteilung einer Blauen Karte stellen. Um diese zu erhalten, müssen Sie zwar die Voraussetzungen dieses Staates zur Erteilung einer Blauen Karte EU erfüllen, doch das dürfte regelmäßig kein Problem sein, da Sie die Erteilungsvoraussetzungen ja schon in Deutschland erfüllt haben.